[Directx12][22장]사원수

개요

지금까지는 회전을 회전 행렬로 표현했다. 하지만 사원수라는 새로운 대수를 사용하면 실수 네개만으로 회전을 표현할 수 있다.

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복소수

복소수는 실수부와 허수부로 구성되며 (a,b) 또는 a+ib로 표현된다. 여기서 i는 -1의 루트로 i2은 -1이 된다.

복소수에는 상등 비교와 사칙연산이 가능한데 a+ib의 상등비교와 사칙연산을 생각하면 된다.

(a,b) = (c,d) => a = c && b = d

(a,b) ± (c,d) = (a±c,b±d)

(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)

(a,b)/(c,d) = ( (ac+bd)/(c2+d2) , (bc-ad)(c2+d2) )

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실수 x는 (x,0)의 복소수로 생각할 수 있으며 i는 (0,1)로 생각할 수 있다.

또한 복소수 z = (a,b)의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.

(a,-b) 

복소수의 크기는 복소수를 2차원 벡터로 생각했을 때의 길이와 같다. 이때 길이가 1인 복소수는 단위 복소수라고 한다.

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복소평면

x축은 복소수의 실수부, y축은 복소수의 허수부로 생각하면 복소수(a,b)를 하나의 점또는 벡터로 생각하여 복소평면위에 위치 시킬 수 있다.

이때 복소수 (a,b)를 다음과 같이 극형식으로 표현 할 수 있다.

r = (a,b)의 길이 , θ = (a,b)의 각도

(rcosθ,rsinθ) = rcosθ + ircosθ = r(cosθ + isinθ)

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이때 두 극형식 복소수 r1(cosθ1 + isinθ1) , r2(cosθ2 + isinθ2)를 곱하여 정리하면 다음과 같이 된다.

r1r2(cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))

이는 두 복소수를 곱하면 길이는 각 길이의 곱이 되고 각도는 더해진 복소수가 나오게 된다는 뜻이다.

이때 한 복소수에 단위 복소수를 곱한다면 그 복소수를 단위 복소수의 각도만큼 회전 시키는 연산이 되게 된다.

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사원수

사원수는 복소수를 일반화하여 평면이 아닌 공간에서 점이나 벡터를 회전시키는데 사용할 수 있는 대수이다.

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사원수는 네개의 실수 순서쌍 q = (x,y,z,w) = (q1,q2,q3,q4)로 구성된다.

여기서 xyz는 각각 허수계수이며 (u,w) = (x,y,z,w)로 허수 벡터부와 실수부로 분리하여 주로 표현한다.

또한 (x,y,z,w)는 xi + yj + zk + w로 표현되며 i,j,k는 다음과 같이 정의된 허수들이다.

i2 = j2 = k2 = ijk = -1

ij = k = -ji

jk = i = -kj

ki = j = - ik

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연산

사원수에는 상등비교와 덧셈, 뺄셈, 곱하기가 가능하며 나누기는 존재하지 않는다.(대신 역곱이 있다.)

(u,a) = (v,b) => u = v && a =b

(u,a) ± (v,b) = (u±v,a±b)

(u,a)(v,b) = (av + bu + u x v, ab - u · v )

사원수의 곱셈은 행렬로 표현이 가능하다.

pq = (p의 앞곱행렬)(q의 열벡터)

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사원수의 곱셈은 교환법칙은 만족하지않지만 결합법칙은 만족한다. 사원수 곱은 행렬로 변환가능하므로 행렬의 성질을 생각하면 증명되는 내용이다. 또한 마찬가지로 덧셈에 대한 분배법칙도 만족한다.

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어떠한 실수s는 사원수 (0,0,0,s)로 변환 될 수 있으며 벡터 u는 사원수 (u,0)으로 변환 될 수 있다.

따라서 실수와 사원수의 곱은 그냥 스칼로 곱셈이며 이 경우에는 교환법칙도 성립한다.

이때 (0,0,0,1)은 사원수 곱셈의 항등원이다.

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켤레

사원수 q = (u, w)의 켤레는 (-u, w)이며 q*로 표현한다.

켤레는 다음과 같은 성질을 가진다.

(pq)* = q*p*

(p + q)* = p*+ q*

(q*)*= q

(sq)* = s(q*)

q+q* = 2q4

qq* = q*q = q12+q22+q32+q42 = ||u||2+q42 

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크기

사원수의 크기는 사차원 벡터로 생각했을 때의 길이이다.

크기에는 다음과 같은 성질이 있다.

||q*|| = ||q||

||pq|| = ||p|| ||q||

이에 따르면 단위 사원수끼리의 곱은 단위 사원수가 된다.

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역

사원수의 역은 다음과 같다.

q-1 = q*/||q||2

이는 qq-1과 q-1q가 1이 나온다는 사실로 알 수 있다.

이때 단위 사원수의 역은 켤레가 된다.

사원수의 역에는 다음과 같은 성질이 있다.

(q-1)-1= q

(pq)-1 = p-1q-1

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단위 사원수의 극형식

단위 사원수q = (u,w)는 다음과 같이 극형식으로 표현 할 수 있다.

q = (sinθn, cosθ)

여기서 n은 u의 방향을 나타내는 단위 벡터이며 θ는 벡터부의 벡터의 길이와 실수부의 크기 사이의 비를 결정하는 0 ~ 180도 사이의 각도이자 w를 cosθ표현 했을 때 나오는 값이다.

이는 ||q|| = ||u|| + q42 = 1에서 q4가 cosθ로 표현될 때 u의 길이는 sinθ가 되어야함을 알 수 있다.

따라서 단위 사원수는 (sinθn, cosθ)꼴로 표현될 수 있다.

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사원수 회전

한 단위 사원수는 점 또는 벡터에 대한 회전을 나타낼 수 있다.

본론부터 이야기하면 q = (sin(θ/2)n, cos(θ/2)) 단위 사원수는 n을 회전축으로(벡터가 눈을 가르킬 때 시계방향으로) θ만큼 회전시키는 회전을 나타낸다.

어떠한 점 또는 벡터 v가 주어졌을 때 이를 사원수 p=(v,0)으로 표현하고 다음과 같이 계산하면 회전된 결과인 (v',0)을 얻을 수 있다.

qvq*= (v',0)

이는 위 왼쪽항을 사원수 곱으로 계산한 뒤 정리하면 3장에서 배웠던 회전 공식과 동일하다는 것으로 증명할 수 있다.

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또한 위의 qvq*연산을 q의 각 요소로 구할 수 있는 행렬 Q로 변환하여 vQ형태로 만들 수 있다. 따라서 q에 대한 회전연산을 표현하는 회전행렬을 구할 수 있다.

반대로 한 회전행렬이 주어졌을 때 사원수에 대한 회전행렬 공식을 역으로 계산하여 회전행렬에 대한 사원수역시 구할 수 있다.

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추가로 단위 사원수 p, q를 곱한 pq는 두 회전을 순서대로 적용시킨것과 같은 결과를 내는 단위 사원수가 되므로 사원수 곱으로 회전을 합성할 수 있다.

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마지막으로 어떠한 단위 사원수 q = (sin(θ/2)n, cos(θ/2))에 다음과 같이 처리하면 각각 다음과 같은 효과를 낼 수 있다.

q*는 회전축이 뒤집힌 효과가 나므로 대칭된 회전을 나타낸다.

(sin(-θ/2)n, cos(-θ/2))는 정리하면 q*와 동일하므로 마찬가지로 대칭된 회전을 나타낸다.

(sin(θ/2)n, -cos(θ/2))는 회전 결과는 q*과 동일하나 회전축이 바뀌지 않으므로 회전 방향이 바뀌지않는다. 즉 짧은 회전 - > 먼 회전 또는 먼회전 -> 짧은 회전으로 바뀌며 반대 회전결과를 내게된다.

-q는 회전축이 바뀌며 실수부를 -한 효과가 동시에 나타나므로 회전결과는 같으나 반대 회전방향을 가지게 된다. 

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사원수 보간

회전을 나타내는 단위 사원수 p,q가 있을 때 이 둘 사이에서 t를 계수로 보간된 회전을 나타내는 단위 사원수를 구할 수 있다. 이는 두 단위 사원수를 4차원 구면을 기준으로 구면 선형 보간을 하여 얻을 수 있다.

이는 다음과 같이 구한다.

p와 q를 내적하고 역코사인을 적용시켜 p와 q사이의 4차원 각도 θ를 얻는다.

(sin((1-t)θ)a + sin(tθ)b) / sin(θ)로 보간된 단위 사원수를 구할 수 있다.

이때 두 사원수 사이의 거리가 0에 가깝다면 sin(θ)도 0에 가까워져 정밀도 오차가 발생 할 수 있다. 따라서 그런 경우에는 두 사원수를 선형 보간한 뒤 정규화시키는 방법이 더 정밀할 수 있다. 다만 평소에는 해당 방법이 구면 선형을 보장해주지 않기에 사용해서는 안된다.

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마지막으로 p와 q에 보간하는 것과 p를 -q에 보간하는 것은 서로 반대방향으로 보간을 하는 것을 의미하게 된다. 이를 컨트롤 하기 위해서는 4차원 상에서 p와 q의 거리와 p와 -q사이의 거리를 각각 구했을 때 더 짧은 쪽이 더 짧은 회전방향으로 보간하게 된다는 점을 이용하면 된다. 이를 이용하여 짧은 거리와 먼 거리중 어디로 보간할 지 정할 수 있다. 

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DirectXMath 사원수

DirectXMath라이브러리에는 다양한 사원수 관련 함수들이 존재한다. 사원수 간의 계산이나 단위 사원수에 대한 회전행렬을 주는함수, 그 반대등 유용한 기능들이 존재한다. 또한 크기 변환 벡터, 회전 중심점 벡터, 단위 사원수, 이동 변환 벡터를 넣으면 그것들을 모두 적용시킨 변환행렬을 주는 함수도 존재한다. 이 함수의 반환 행렬은 각 변환을 적용시키는 행렬로도 사용할 수 있지만 해당 크기, 회전, 위치를 가지는 오브젝트에 대한 월드 행렬로도 그대로 사용가능하다.

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키프레임 애니메이션

애니메이션의 대표적인 표현 방식은 키프레임이다.

일련의 키프레임으로 애니메이션이 표현되는데 각 키프레임은 프레임 시간, 위치, 크기, 회전(단위 사원수)의 값을 가진다. 특정 시간대에서 그 시간대를 둘러싼 두 키프레임에서 시간비를 계수로 위치, 크기, 회전을 각각 보간하여 해당 시간대의 오브젝트 월드행렬을 구하여 적용하면 실시간 애니메이션이 구현된다.

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참고서적

DirectX 12를 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문